Question

20．在△ABC中，角C=60°，且tan$\frac{A}{2}$+tan$\frac{B}{2}$=1，则sin$\frac{A}{2}$•sin$\frac{B}{2}$=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$．

Answer 1

分析 由已知及三角形内角和定理可求$\frac{A}{2}$+$\frac{B}{2}$=60°，由已知等式，利用同角三角函数基本关系式，两角和的正弦函数公式可求cos$\frac{A}{2}$•cos$\frac{B}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，利用两角和的余弦函数公式即可计算得解sin$\frac{A}{2}$•sin$\frac{B}{2}$的值．

解答 解：∵C=60°，可得：$\frac{A}{2}$+$\frac{B}{2}$=$\frac{1}{2}$（180°-C）=60°，
∵tan$\frac{A}{2}$+tan$\frac{B}{2}$=1，可得：$\frac{sin\frac{A}{2}}{cos\frac{A}{2}}$+$\frac{sin\frac{B}{2}}{cos\frac{B}{2}}$=$\frac{sin\frac{A}{2}cos\frac{B}{2}+sin\frac{B}{2}cos\frac{A}{2}}{cos\frac{A}{2}cos\frac{B}{2}}$=$\frac{sin（\frac{A}{2}+\frac{B}{2}）}{cos\frac{A}{2}cos\frac{B}{2}}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{cos\frac{A}{2}cos\frac{B}{2}}$=1，
可得：cos$\frac{A}{2}$•cos$\frac{B}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴cos（$\frac{A}{2}$+$\frac{B}{2}$）=cos60°=$\frac{1}{2}$=cos$\frac{A}{2}$•cos$\frac{B}{2}$-sin$\frac{A}{2}$•sin$\frac{B}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$-sin$\frac{A}{2}$•sin$\frac{B}{2}$，
∴可得：sin$\frac{A}{2}$•sin$\frac{B}{2}$=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$．

点评 本题主要考查了三角形内角和定理，同角三角函数基本关系式，两角和的正弦函数公式，两角和的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．