Question

15．若函数f（x）的表达式为f（x）=$\frac{ax+b}{cx+d}$ （c≠0），则函数f（x）的图象的对称中心为（-$\frac{d}{c}$，$\frac{a}{c}$），现已知函数f（x）=$\frac{2-2x}{2x-1}$，数列{a_n}的通项公式为a_n=f（$\frac{n}{2017}$）（n∈N），则此数列前2017项的和为-2016．

Answer 1

分析 由已知结论可得f（x）的对称中心为（$\frac{1}{2}$，-1），即有f（x）+f（1-x）=-2，此数列前2017项的和按正常顺序写一遍，再倒过来写，即运用数列的求和方法：倒序球和法，化简即可得到所求和．

解答 解：若函数f（x）的表达式为f（x）=$\frac{ax+b}{cx+d}$ （c≠0），
则函数f（x）的图象的对称中心为（-$\frac{d}{c}$，$\frac{a}{c}$），
现已知函数f（x）=$\frac{2-2x}{2x-1}$，则对称中心为（$\frac{1}{2}$，-1），
即有f（x）+f（1-x）=-2，
则数列前2017项的和为S₂₀₁₇=f（$\frac{1}{2017}$）+f（$\frac{2}{2017}$）+…+f（$\frac{2016}{2017}$）+f（1），
则S₂₀₁₇=f（$\frac{2016}{2017}$）+f（$\frac{2015}{2017}$）+…+f（$\frac{1}{2017}$）+f（1），
相加可得2S₂₀₁₇=[f（$\frac{1}{2017}$）+f（$\frac{2016}{2017}$）]+[f（$\frac{2}{2017}$）+f（$\frac{2015}{2017}$）]+…+2f（1）
=-2+（-2）+…+（-2）+0=-2×2016，
则此数列前2017项的和为-2016．
故答案为：-2016．

点评 本题考查函数的对称性及应用，考查数列的求和方法：倒序相加求和，考查运算能力，属于中档题．