Question

5．设f'（x）是函数f（x）在定义域R上的导函数，若f（0）=1且f'（x）-2f（x）=0，则不等式f（ln（x²-x））＜4的解集为（-1，0）∪（1，2）．

Answer 1

分析 根据题意，不妨设f（x）=e^2x，x∈R，则f（x）在R上是单调增函数，把不等式f（ln（x²-x））＜4化为ln（x²-x）＜ln2，从而求出不等式的解集．

解答 解：根据题意，不妨设f（x）=e^2x，x∈R，
则f′（x）=2e^2x，满足f（0）=e⁰=1，且f′（x）-2f（x）=0；
所以f（x）在R上是单调增函数；
又4=e^ln4=e^2ln2=f（ln2），
所以不等式f（ln（x²-x））＜4等价于ln（x²-x）＜ln2，
即$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-x＞0}\\{{x}^{2}-x＜2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x＞1或x＜0}\\{-1＜x＜2}\end{array}\right.$，
即-1＜x＜0或1＜x＜2；
所以该不等式的解集为（-1，0）∪（1，2）．
故答案为：（-1，0）∪（1，2）．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性问题，也考查了构造函数的解题方法，是综合性题目．