Question

已知双曲线C：x²-

y2

2

=1的左、右两个顶点分别为A、B．曲线M是以A、B两点为短轴端点，离心率为

2

2

的椭圆．设点P在第一象限且在曲线C上，直线AP与椭圆M相交于另一点T．
（Ⅰ）设点P、T的横坐标分别为x₁、x₂，证明：x₁x₂=1；
（Ⅱ）设△TAB与△POB（其中O为坐标原点）的面积分别为S₁与S₂，且

PA

•

PB

≤9，求S₁•S₂的最大值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）依题意得A（-1，0），B（1，0），设椭圆M的方程为x2+

y2

b2

=1，b＞1，由椭圆M的离心率e=

2

2

，得椭圆M的方程为x2+

y2

2

=1，设P（x₁，y₁），T（x₂，y₂），由k_AP=k_AT，和点P和点T分别在双曲线和椭圆上，能证明x₁x₂=1．
（Ⅱ）由

PA

•

PB

≤9，得x12+y12≤10，由点P是双曲线在第一象限的点，得1＜x₁≤2，由已知得S12•S22=y22•

1

4

y12=

(2-2x22)(x12-1)

2

=（1-x₂²）（x12-1），由此推导出当x₁=2时，（S₁•S₂）_max=

3

2

．

解答： （Ⅰ）证明：依题意得A（-1，0），B（1，0），
设椭圆M的方程为x2+

y2

b2

=1，b＞1，
由椭圆M的离心率e=

b2-1

b

=

2

2

，解得b²=2，
∴椭圆M的方程为x2+

y2

2

=1，
设P（x₁，y₁），T（x₂，y₂），（x_i＞0，y_i＞0，i=1，2）
则k_AP=

y1

x1+1

，k_AT=

y2

x2+1

，
∵k_AP=k_AT，
∴

y1

x1+1

=

y2

x2+1

，即

y12

(x1+1)2

=

y22

(x2+1)2

，
∵点P和点T分别在双曲线和椭圆上，
∴x12-

y12

2

=1，x22+

y22

2

=1，
即y12=2(x12-1)，y22=2(1-x22)，
∴

2(x12-1)

(x1+1)

=

2(1-x22)

(x2+1)2

，
∴

x1-1

x1+1

=

1-x2

x2+1

，∴x2=

1

x1

．∴x₁x₂=1．
（Ⅱ）解：设P（x₁，y₁），T（x₂，y₂），（x_i＞0，y_i＞0，i=1，2）
则

PA

=（-1-x₁，-y₁），

PB

=(1-x1，-y1)，
∵

PA

•

PB

≤9，∴（-1-x₁）（1-x₁）+y12≤9，
∴x12+y12≤10，
∵P在双曲线上，∴x12-

y12

2

=1，∴x12+2x12-2≤10，∴x12≤4，
∵点P是双曲线在第一象限的点，∴1＜x₁≤2，
∵S₁=

1

2

|AB||y2|=|y2|，S2=

1

2

|OB||y1|=

1

2

|y1|，
∴S12•S22=y22•

1

4

y12=

(2-2x22)(x12-1)

2

=（1-x₂²）（x12-1）
由（Ⅰ）知，x≤-2．
设-1≤x≤1，则f（x）=2＜4，S12•S22=t+

1

t

-2．
∵f（t）=t+

1

t

在区间（1，4]上单调递增，f（t）_max=f（4），
∴S12•S22=t+

1

t

-2≤

9

4

，
即当x₁=2时，（S₁•S₂）_max=

3

2

．

点评：本题考查两点横坐标之积为1的证明，考查两三角形面积之积的最大值的求法，解题时要认真审题，注意函数的单调性的合理运用．