Question

已知f（x）=x-

a

x

（a＞0），g（x）=2lnx+bx，且直线y=2x-2与曲线y=g（x）相切．
（1）若对[1，+∞）内的一切实数x，不等式f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围；
（2）当a=1时，求最大的正整数k，使得任意k个实数x₁，x₂，…，x_k∈[e，3]（e=2.71828…是自然对数的底数）都有f（x₁）+f（x₂）+…+f（x_k-1）≤16g（x_k）成立．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,函数与方程的综合运用,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（1）若对[1，+∞）内的一切实数x，不等式f（x）≥g（x）恒成立，转化为a≤x²-2xlnx，恒成立，利用导数即可求实数a的取值范围；
（2）当a=1时，求函数的导数，研究函数的最值，即可证明不等式．

解答： 解：（1）设点（m，n）为直线y=2x-2与曲线y=g（x）的切点，则有
2lnm+bm=2m-2．      （*）
∵g′（x）=

2

x

+b，∴

2

m

+b=2．   （**）
由（*）、（**）两式，解得b=0，g（x）=2lnx．
由f（x）≥g（x）整理，得

a

x

≤x-2lnx，
∵x≥1，
∴要使不等式f（x）≥g（x）恒成立，必须a≤x²-2xlnx，恒成立．  
设h（x）=x²-2xlnx，h′（x）=2x-2lnx-2，
∵h″（x）=2-

2

x

，∴当x≥1时，h″（x）≥0，则h′（x）是增函数，
∴h′（x）≥h′（1）=0，h（x）是增函数，h（x）≥h（1）=0，a≤1．
因此，实数a的取值范围是0＜a≤1．
（2）当a=1时，f（x）=x-

1

x

，
∵f′（x）=1+

1

x2

＞0，
∴f（x）在[e，3]（上是增函数，f（x）在[e，3]上的最大值为f（3）=

8

3

．
要对[e，3]内的任意k个实数x₁，x₂，…，x_k都有f（x₁）+f（x₂）+…+f（x_k-1）≤16g（x_k）
成立，必须使得不等式左边的最大值小于或等于右边的最小值，
∵当x₁=x₂=…=x_k-1=3时，不等式左边取得最大值，x_k=e时不等式右边取得最小值．
∴（k-1）×

8

3

≤16×2，
解得k≤13．因此，k的最大值为13．

点评：本题主要考查不等式恒成立以及不等式的证明，利用参数分离法转化为参数恒成立问题，利用导数的应用是解决本题的关键．