Question

已知Rt△ABC中（如图1），AB⊥AC，AB=4，∠ACB=30°，AD⊥BC，沿AD折叠，使得折叠后∠BDC=90°，如图2所示．
（1）求证：AD⊥平面BDC
（2）求三棱锥A-BDC的体积．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定,棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）由已知条件得AD⊥BD，AD⊥DC，由此能证明AD⊥平面BDC．
（2）由题设可得：BD=2，DC=6，AD=2

3

，由此能求出三棱锥A-BDC的体积．

解答： （1）证明：∵Rt△ABC中（如图1），AB⊥AC，AB=4，∠ACB=30°，AD⊥BC，
沿AD折叠，使得折叠后∠BDC=90°，
∴AD⊥BD，AD⊥DC，…（4分）
又BD∩DC=D，
所以，AD⊥平面BDC…（6分）
（2）由题设可得：BD=2，DC=6，AD=2

3

，…（9分）
∴三棱锥A-BDC的体积为：
V=

1

3

×S△BDC×AD
=

1

3

×

1

2

×2×6×2

3

=4

3

．…（12分）

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．