题目内容
已知函数f（x）=sin（ωx+φ），其中ω＞0，|φ|＜
．
（1）若cos
cosφ-sin
sinφ=0，求φ的值；
（2）在（1）的条件下，若函数f（x）的图象与x轴的相邻两个交点之间的距离等于
，求函数f（x）的解析式；
（3）在（2）的条件下，若方程2f（x）-1=0在区间[a，b]上有三个实数根，求b-a的取值范围．
| π |
| 2 |
（1）若cos
| π |
| 4 |
| 3π |
| 4 |
（2）在（1）的条件下，若函数f（x）的图象与x轴的相邻两个交点之间的距离等于
| π |
| 3 |
（3）在（2）的条件下，若方程2f（x）-1=0在区间[a，b]上有三个实数根，求b-a的取值范围．
考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换,三角函数中的恒等变换应用
专题：三角函数的图像与性质
分析：（1）由cos
cosφ-sin
sinφ=cos（
+φ）=0，结合|φ|＜
，求得φ的值．
（2）由函数的周期为
=2×
，求得ω 的值，可得f（x）的解析式．
（3）由题意可得 sin（3x+
）=
在区间[a，b]上有三个实数根，可得b-a的最小值为一个周期，b-a的最大值趋于2个周期，从而求得b-a的取值范围．
| π |
| 4 |
| 3π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| π |
| 2 |
（2）由函数的周期为
| 2π |
| ω |
| π |
| 3 |
（3）由题意可得 sin（3x+
| π |
| 4 |
| 1 |
| 2 |
解答：
解：（1）函数函数f（x）=sin（ωx+φ），若cos
cosφ-sin
sinφ=cos（
+φ）=0，
结合|φ|＜
，可得 φ=
．
（2）由于函数f（x）的图象与x轴的相邻两个交点之间的距离等于
，
可得函数的周期为
=2×
，求得ω=3，故f（x）=sin（3x+
）．
（3）在（2）的条件下，若方程2f（x）-1=0在区间[a，b]上有三个实数根，
即 sin（3x+
）=
在区间[a，b]上有三个实数根，
故b-a的最小值为一个周期
，b-a的最大值趋于2个周期
，
故b-a∈[
，
）．
| π |
| 4 |
| 3π |
| 4 |
| π |
| 4 |
结合|φ|＜
| π |
| 2 |
| π |
| 4 |
（2）由于函数f（x）的图象与x轴的相邻两个交点之间的距离等于
| π |
| 3 |
可得函数的周期为
| 2π |
| ω |
| π |
| 3 |
| π |
| 4 |
（3）在（2）的条件下，若方程2f（x）-1=0在区间[a，b]上有三个实数根，
即 sin（3x+
| π |
| 4 |
| 1 |
| 2 |
故b-a的最小值为一个周期
| 2π |
| 3 |
| 4π |
| 3 |
故b-a∈[
| 2π |
| 3 |
| 4π |
| 3 |
点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象性质，方程根的存在性及个数判断，属于基础题．
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