题目内容
设全集U=R，A={x|2＜x＜6}，B={x|3x-7≥8-2x}，C={x|a-2＜x＜2a}，求：
（1）（∁UA）∩B；
（2）若A∪C=A，求实数a的取值范围．
（1）（∁UA）∩B；
（2）若A∪C=A，求实数a的取值范围．
考点：交、并、补集的混合运算
专题：集合
分析：（1）求出B中不等式的解集确定出B，由全集U=R及A，求出A的补集，找出A补集与B的交集即可；
（2）由A与C的并集为A，得到C为A的子集，即可确定出a的范围．
（2）由A与C的并集为A，得到C为A的子集，即可确定出a的范围．
解答：
解：（1）∵全集U=R，A={x|2＜x＜6}，B={x|3x-7≥8-2x}={x|x≥3}，
∴∁UA={x|x≤2或x≥6}，
则（∁UA）∩B={x|x≥3}；
（2）∵A∪C=A，∴C⊆A，
∵A={x|2＜x＜6}，C={x|a-2＜x＜2a}，
∴当C=∅时，a-2≥2a，此时a≤-2；
当C≠∅时，a-2＜2a，此时a＞-2，
可得
，此时不等式组无解，
综上，a的范围为a≤-2．
∴∁UA={x|x≤2或x≥6}，
则（∁UA）∩B={x|x≥3}；
（2）∵A∪C=A，∴C⊆A，
∵A={x|2＜x＜6}，C={x|a-2＜x＜2a}，
∴当C=∅时，a-2≥2a，此时a≤-2；
当C≠∅时，a-2＜2a，此时a＞-2，
可得
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综上，a的范围为a≤-2．
点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
练习册系列答案
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