Question

已知数列{x_n}满足x₁=

1

2

，x_n+1=

1

1+xn

，n∈N^*．猜想数列{x_2n}的单调性，并证明你的结论．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：点列、递归数列与数学归纳法,推理和证明

分析：求出数列的前几项，利用数学归纳法进行证明即可．

解答： 解：由x₁=

1

2

，x_n+1=

1

1+xn

，
得x₂=

2

3

，x₄=

5

8

，x₆=

13

21

，
由x₂＞x₄＞x₆，猜想：数列{x_2n}是递减数列．                         …（4分）
下面用数学归纳法证明：
（1）当n=1时，已证命题成立．
（2）假设当n=k时命题成立，即x_2k＞x_2k+2，易知x_k＞0，
那么x_2k+2-x_2k+4=

1

1+x2k+1

-

1

1+x2k+3

=

x2k+3-x2k+1

(1+x2k+1)(1+x2k+3)

=

1 1+x2k+2 - 1 1+x2k

(1+x2k+1)(1+x2k+3)

=

x2k-x2k+2

(1+x2k)(1+x2k+1)(1+x2k+2)(1+x2k+3)

＞0，
即x_2（k+1）＞x_2（k+1）+2，
也就是说，当n=k+1时命题也成立．
结合（1）和（2）知命题成立．                                     …（12分）

点评：本题主要考查数列单调性的判断，利用数学归纳法是证明本题的关键，要求熟练掌握归纳法的方法和步骤．