Question

已知函数f（x）=|x+3|-|x-2|．
①求不等式f（x）≥3的解集；
②若f（x）≥|a-4|有解，求a的取值范围．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：计算题,不等式的解法及应用

分析：（1）运用零点分区间的方法，讨论当x≥2时，当x≤-3时，当-3＜x＜2时，去绝对值，解不等式求并集即可得到；
（2）运用绝对值不等式的性质，求得函数的最大值，令|a-4|不大于最大值，解得即可得到范围．

解答： 解：（1）|x+3|-|x-2|≥3即为
当x≥2时，即有5≥3成立，则x≥2；
当x≤-3时，即有-5≥3，则x∈∅；
当-3＜x＜2时，2x+1≥3即有x≥1，则1≤x＜2．
则解集为{x|1≤x＜2或x≥2}={x|x≥1}；
（2）由绝对值不等式的性质可得，
||x+3|-|x-2||≤|（x+3）-（x-2）|=5，
则有-5≤|x+3|-|x-2|≤5．
若f（x）≥|a-4|有解即为|a-4|≤5，
即有-5≤a-4≤5，解得，-1≤a≤9．
则a的取值范围是[-1，9]．

点评：本题考查绝对值不等式的解法，考查绝对值不等式的性质，不等式有解问题转化为求最值，考查运算能力，属于中档题和易错题．