Question

6．在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{6}}{3}$，直线l：y=$\frac{1}{3}$x与椭圆E相交于A，B两点，AB=2$\sqrt{10}$，则椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{12}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$．

Answer 1

分析 由离心率可得a，b的关系，联立直线方程和椭圆方程，求出A，B的坐标，代入弦长公式求得b，则椭圆方程可求．

解答 解：由e=$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{6}}{3}$，得$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{2}{3}$，即a²=3b²．
∴椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{3{b}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{3}x}\\{\frac{{x}^{2}}{3{b}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，得${x}^{2}=\frac{9{b}^{2}}{4}$．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁＜x₂），得${x}_{1}=-\frac{3}{2}b$，${x}_{2}=\frac{3}{2}b$．
∴AB=$\sqrt{1+（\frac{1}{3}）^{2}}$|x₂-x₁|=$\frac{\sqrt{10}}{3}×3b=2\sqrt{10}$，解得b=2．
∴椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{12}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$．
故答案为：$\frac{{x}^{2}}{12}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，训练了弦长公式的应用，是基础题．