Question

16．已知实数x，y满足$\left\{\begin{array}{l}x-4y+10≥0\\ 2x+y-2≥0\\ 3x-y-3≤0\end{array}\right.$，则$z=\frac{2}{{{x^2}+{y^2}+4x-2y+5}}$的取值范围为[$\frac{1}{10}$，$\frac{2}{5}$]．

Answer 1

分析 画出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，结合两点间的距离公式进行求解即可．

解答 解：z=x²+y²+4x-2y+5=（x+2）²+（y-1）²，
设m=（x+2）²+（y-1）²，则m的几何意义是区域内的点到点D（-2，1）的距离的平方，
作出实数x，y满足$\left\{\begin{array}{l}x-4y+10≥0\\ 2x+y-2≥0\\ 3x-y-3≤0\end{array}\right.$的平面区域如图，
则点D到直线2x+y-2=0的距离最小，此时d=$\frac{|-4+1-2|}{\sqrt{5}}$=$\sqrt{5}$，
AD的距离最大，由$\left\{\begin{array}{l}{x-4y+10=0}\\{3x-y-3=0}\end{array}\right.$得A（2，3），
则AD=$\sqrt{（2+2）^{2}+（3-1）^{2}}$=$2\sqrt{5}$，
即（$\sqrt{5}$）²≤m≤20，即5≤m≤20，
则$z=\frac{2}{{{x^2}+{y^2}+4x-2y+5}}$的取值范围为：[$\frac{1}{10}$，$\frac{2}{5}$]．
故答案为：[$\frac{1}{10}$，$\frac{2}{5}$]．

点评 本题主要考查线性规划的应用，根据零点间的距离公式，结合数形结合是解决本题的关键．