题目内容

11．在△ABC中，AB=6，AC=2，∠BAC=$\frac{2π}{3}$，若$\overrightarrow{AM}$=x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{AC}$，且3x+y=1，则|AM|的最小值为1．

分析 在AB上取点D，使得AD=$\frac{1}{3}$AB=2，连结CD．则|AM|的最小值为A到直线CD的距离．

解答 解：在AB上取点D，使得AD=$\frac{1}{3}$AB=2，连结CD．
则$\overrightarrow{AM}$=3x$\overrightarrow{AD}+y\overrightarrow{AC}$，
∵3x+y=1，
∴C，M，D三点共线，
∴|AM|的最小值为A到直线CD的距离，
∵AC=AD=2，∠BAC=$\frac{2π}{3}$，
∴A到CD的距离d=$\frac{1}{2}$AD=1．
故答案为：1．

点评 本题考查了平面向量的基本定理，属于基础题．

练习册系列答案
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1．如图，ABC-A'B'C'为三棱柱，M为CC的中点，N为AB的中点，AA'=2，AB=2，BC=1，∠ABC=60°．
（1）求证：CN∥平面AB'M；
（2）求平面AB'M与平面BB'C所成的锐二面角的余弦值．
2．已知数列{an}的前n项和为Sn满足Sn=$\frac{3}{2}{a_n}-\frac{1}{2}{a_1}（{n∈{N^*}}）$，且a1-1，2a2，a3+7成等差数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）令bn=2log9an（n∈N*），求数列$\left\{{\frac{1}{{{b_n}{b_{n+1}}}}}\right\}$的前n项和Tn．
19．数列{an}的通项公式an=2n，若数列{bn}满足：${a_n}=\frac{b_1}{3+1}+\frac{b_2}{{{3^2}+1}}+\frac{b_3}{{{3^3}+1}}+…+\frac{b_n}{{{3^n}+1}}$
（1）求数列{bn}的通项公式；
（2）令${c_n}=\frac{{{a_n}{b_n}}}{4}$（n∈N*），求数列{cn}的前n项和Tn．
6．在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{6}}{3}$，直线l：y=$\frac{1}{3}$x与椭圆E相交于A，B两点，AB=2$\sqrt{10}$，则椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{12}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$．
16．已知函数f（x）=lnx+ax2（a∈R），y=f（x）的图象连续不间断．
（1）求函数y=f（x）的单调区间；
（2）当a=1时，设l是曲线y=f（x）的一条切线，切点是A，且l在点A处穿过函数y=f（x）的图象（即动点在点A附近沿曲线y=f（x）运动，经过点A时，从l的一侧进入另一侧），求切线l的方程．
3．已知函数f（x）=axex-（a-1）（x+1）2（a∈R，e为自然对数的底数，e=2.7181281…）．
（1）当a=-1时，求f（x）的单调区间；
（2）若f（x）仅有一个极值点，求a的取值范围．
20．在平面直角坐标系xOy中，以点（0，1）为圆心且与直线mx-y-2m-1=0（x∈R）相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为x2+（y-1）2=8．
1．给出下列三个结论：
①设回归直线方程为$\widehat{y}$=2-2.5x，当变量x增加1个单位时，y平均增加2个单位；
②若命题p：?x0∈[1，+∞），$x_0^2-{x_0}-1＜0$，则￢p：?x∈（-∞，1），x2-x-1≥0；
③已知直线l1：ax+3y-1=0，l2：x+by+1=0，则l1⊥l2的充要条件是$\frac{a}{b}=-3$；
其中正确结论的个数为（　　）
A．0B．1C．2D．3

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