Question

16．若函数$f（x）=\sqrt{1-{x^2}}$的图象上某一点处的切线过点（2，1），则切线的斜率为（　　）

• A． 0
• B． 0或$\frac{4}{3}$
• C． $\frac{4}{5}$
• D． $\frac{4}{3}$

Answer 1

分析 设切点为（m，n），（-1≤m≤1，n≥0），由于f（x）的图象为单位圆的上半圆，求得切线的斜率和方程，代入（2，1），解方程可得m，n，进而得到所求切线的斜率．

解答 解：设切点为（m，n），（-1≤m≤1，n≥0），
由于函数$f（x）=\sqrt{1-{x^2}}$的图象为单位圆的上半圆，
可得切线的斜率为-$\frac{m}{n}$，
即有切线的方程为y-n=-$\frac{m}{n}$（x-m），
代入m²+n²=1，可得mx+ny=1，
代入（2，1），可得2m+n=1，
解得m=$\frac{4}{5}$，n=-$\frac{3}{5}$，（舍去）或m=0，n=1，
即为切线的斜率为-$\frac{m}{n}$=0．
故选：A．

点评 本题考查切线的斜率的求法，注意运用圆的切线的性质，以及两直线垂直的条件和直线方程的运用，属于中档题．