Question

3．随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长．设某地区城乡居民人民币储蓄存款（年底余额）如表：

年份	2010	2011	2012	2013	2014
时间代号t	1	2	3	4	5
储蓄存款y （千亿元）	5	6	7	8	10

（1）求y关于t回归方程$\widehat{y}$=$\widehat{a}$+$\widehat{b}$t；
用所求回归方程预测该地区2016年（t=7）人民币储蓄存款．
附：回归直线方程$\widehat{y}$=$\widehat{a}$+$\widehat{b}$t中，$\widehat{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{t}_{i}{y}_{i}-n\overline{t}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{t}_{i}}^{2}-n{\overline{t}}^{2}}$，$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat{b}$$\overline{t}$．

Answer 1

分析 （1）由题意，利用公式计算平均数与回归直线的系数，即可写出回归直线方程；
（2）计算t=7时回归方程中$\widehat{y}$的值即可．

解答 解：（1）由题意可知$\overline{t}$=$\frac{1}{5}$×（1+2+3+4+5）=3，
$\overline{y}$=$\frac{1}{5}$×（5+6+7+8+10）=7.2，
$\sum_{i=1}^{n}$t_iy_i=1×5+2×6+3×7+4×8+5×10=120，
$\sum_{i=1}^{n}$${{t}_{i}}^{2}$=1²+2²+3²+4²+5²=55，
故$\widehat{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{t}_{i}{y}_{i}-n\overline{t}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{t}_{i}}^{2}-n{\overline{t}}^{2}}$=$\frac{120-5×3×7.2}{55-5{×3}^{2}}$=1.2，
$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat{b}$$\overline{t}$=7.2-1.2×3=3.6，
因此，所求y关于t的回归方程为$\widehat{y}$=3.6+1.2t；
（2）将t=7代入（1）中的回归方程可得：
$\widehat{y}$=3.6+1.2×7=12；
故由所求回归方程可预测该地区2016年的人民币储蓄存款为12千亿元．

点评 本题考查了利用公式计算回归直线的系数，以及回归直线方程的应用问题，是基础题目．