Question

18．设a，b都是不等于1的正数，则“2^a＜2^b＜2”是“log_a2＞log_b2”的（　　）

• A． 充要条件
• B． 充分不必要条件
• C． 必要不充分条件
• D． 既不充分也不必要条件

Answer 1

分析 求解2^a＜2^b＜2，得出a＜b＜1，log_a2＜log_b2，得出$\left\{\begin{array}{l}{lgb-lga＜0}\\{lgalgb＞0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{lgb-lga＞0}\\{lgalgb＜0}\end{array}\right.$，根据对数函数的性质求解即可，再利用充分必要条件的定义判断即可．

解答 解：a、b都是不等于1的正数，
∵2^a＜2^b＜2，
∴a＜b＜1，
∵log_a2＜log_b2，
∴$\frac{1}{lga}＜\frac{1}{lgb}$，
即$\frac{lgb-lga}{lgblga}＜0$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{lgb-lga＜0}\\{lgalgb＞0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{lgb-lga＞0}\\{lgalgb＜0}\end{array}\right.$
求解得出：a＞b＞1或1＞a＞b＞0或b＞1，0＜a＜1
根据充分必要条件定义得出“2^a＜2^b＜2”是“log_a2＞log_b2”的充分条不必要件，
故选：B．

点评 本题考查必要条件、充分条件及充分必要条件的判断方法，考查了不等式的性质，是基础题．