某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查.在高三的全体1000名学生中随机抽取了若干名学生的体检表.并得到如直方图:(Ⅰ)若直方图中前三组的频率成等比数列.后四组的频率成等差数列.试估计全年级视力在5.0以下的人数,(Ⅱ)学习小组成员发现.学习成绩突出的学生.近视的比较多.为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系.对年纪名次在1-50名� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

14．

某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查，在高三的全体1000名学生中随机抽取了若干名学生的体检表，并得到如直方图：
（Ⅰ）若直方图中前三组的频率成等比数列，后四组的频率成等差数列，试估计全年级视力在5.0以下的人数；
（Ⅱ）学习小组成员发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系，对年纪名次在1～50名和951～1000名的学生进行了调查，得到如图表中数据：

	1-50	951-1000
近视	41	32
不近视	9	18

根据表中的数据，能否在犯错的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系？
（Ⅲ）在（Ⅱ）中调查的100名学生中，在不近视的学生中按照成绩是否在前50名分层抽样抽取了9人，进一步调查他们良好的护眼习惯，并且在这9人中任取3人，记名次在1～50名的学生人数为X，求X的分布列和数学期望．
附：

P（K²≥k）	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005
k	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879

${K^2}=\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$．

分析（I）利用频率的计算方法，等差数列与等比数列的通项公式及其性质即可得出．
（II）根据k²的计算公式，根据独立性检验基本思想即可得出结论．

解答解：（Ⅰ）设各组的频率为f_i（i=1，2，3，4，5，6），
依题意，前三组的频率成等比数列，后四组的频率成等差数列，故f₁=0.15×0.2=0.03，f₂=0.45×0.2=0.09，${f_3}=\frac{{{f_2}^2}}{f_1}=0.27$．
∴由$\frac{{（{f_3}+{f_6}）•4}}{2}=1-（0.03+0.09）$，可得f₆=0.17，
∴视力在5.0以下的频率为1-0.17=0.83，
故全年级视力在5.0以下的人数约为1000×0.83=830．
（Ⅱ） ${k^2}=\frac{{100×{{（41×18-32×9）}^2}}}{50×50×73×27}=\frac{300}{73}≈4.110＞3.841$，
因此在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系．
（Ⅲ）依题意9人中年级名次在1～50名和951～1000名分别有3人和6人，X可取0，1，2，3，$P（X=0）=\frac{C_6^3}{C_9^3}=\frac{20}{84}$，$P（X=1）=\frac{C_6^2C_3^1}{C_9^3}=\frac{45}{84}$，$P（X=2）=\frac{C_6^1C_3^2}{C_9^3}=\frac{18}{84}$，$P（X=3）=\frac{C_3^3}{C_9^3}=\frac{1}{84}$，
X的分布列为：

X的数学期望$E（X）=0×\frac{20}{84}+1×\frac{45}{84}+2×\frac{18}{84}+3×\frac{1}{84}=1$．