Question

12．已知过定点（2，0）的直线l与曲线y=$\sqrt{2-{x^2}}$交于A，B两点，O为坐标原点，则△AOB面积最大时，直线的倾斜角是150^°．

Answer 1

分析 解法一：如图所示，设直线l的倾斜角为α．设直线l的方程为：my=x-2，即x-my-2=0．（m＜-1）．原点O到直线l的距离d=$\frac{2}{\sqrt{1+{m}^{2}}}$，|AB|=2$\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}$．可得S_△AOB=$\frac{1}{2}$d|AB|=$2\sqrt{2}$$\sqrt{{m}^{2}-1+\frac{4}{{m}^{2}-1}+4}$，利用基本不等式的性质即可得出．
解法二：△AOB为等腰直角三角形时，面积最大，S=1．|AB|=2，设原点O到直线l的距离d，利用d=$\frac{2}{\sqrt{1+{m}^{2}}}$=1，解得m，从而可得答案．

解答 解：解法一：如图所示，设直线l的倾斜角为α．
设直线l的方程为：my=x-2，即x-my-2=0（m＜-1）．
原点O到直线l的距离d=$\frac{2}{\sqrt{1+{m}^{2}}}$，
|AB|=2$\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}$=2$\sqrt{2}$$\sqrt{\frac{{m}^{2}-1}{{m}^{2}+1}}$．
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}$d|AB|=$\frac{1}{2}$×$\frac{2}{\sqrt{1+{m}^{2}}}$×2$\sqrt{2}$$\sqrt{\frac{{m}^{2}-1}{{m}^{2}+1}}$=2$\sqrt{2}$×$\sqrt{\frac{{m}^{2}-1}{（1+{m}^{2}）^{2}}}$=$2\sqrt{2}$$\sqrt{{m}^{2}-1+\frac{4}{{m}^{2}-1}+4}$．≥2$\sqrt{2}$$\sqrt{2\sqrt{4}+4}$=8，当且仅当m²=3，即m=-$\sqrt{3}$，即tanα=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，α=150^°时取等号．
故直线的倾斜角是：150^°．
解法二：设直线l的倾斜角为α．
设直线l的方程为：my=x-2，即x-my-2=0（m＜-1）．
△AOB为等腰直角三角形时，面积最大，$S=\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}$=1．∴|AB|=$\sqrt{（\sqrt{2}）^{2}×2}$=2．
设原点O到直线l的距离d，∵$S=\frac{1}{2}×d×|AB|$，∴d=$\frac{2}{\sqrt{1+{m}^{2}}}$=1，解得m=$-\sqrt{3}$，
∴即tanα=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，α=150^°时取等号．
故答案为：150^°．

点评 本题考查了点到直线的距离公式、直线与圆相交弦长问题、三角形面积计算公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．