Question

已知函数f（x）=2^x+a•2^-x（a∈R）．
（1）讨论函数f（x）的奇偶性；
（2）若函数f（x）在（-∞，2]上为减函数，求a的取值范围．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,函数单调性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）分类讨论：由奇偶性的定义分函数为奇函数和偶函数可得a值，进而可得结论；（2）由减函数可得对任意的x₁＜x₂≤2，都有f（x₁）-f（x₂）＞0，变形可得2x1•2x2＜a恒成立，又可得(2x1•2x2)max＜16，可得a≥16．

解答： 解：（1）∵f（x）=2^x+a•2^-x，
∴f（-x）=2^-x+a•2^x，
若f（x）为偶函数，则对任意的x∈R，都有f（x）=f（-x），
即2^x+a•2^-x=2^-x+a•2^x对任意的x∈R都成立．
化简可得（2^x-2^-x）（1-a）=0对任意的x∈R都成立．
由于2^x-2^-x不恒等于0，故有1-a=0，即a=1
∴当a=1时，f（x）是偶函数；
若f（x）为奇函数，则对任意的x∈R，都有f（x）=-f（-x），
即2^x+a•2^-x+2^-x+a•2^x=0，（2^x+2^-x）（1+a）=0对任意的x∈R都成立．
由于2^x+2^-x不恒等于0，故有1+a=0，即a=-1
∴当a=-1时，f（x）是奇函数，
综上可得当a=1时，f（x）是偶函数；
当a=-1时，f（x）是奇函数；
当a≠±1时，f（x）是非奇非偶函数．
（2）∵函数f（x）在（-∞，2]上为减函数，
∴对任意的x₁＜x₂≤2，都有f（x₁）-f（x₂）＞0，
即f（x₁）-f（x₂）=(2x1-2x2)(1-

a

2x12x2

)＞0恒成立．
由2x1-2x2＜0，知1-

a

2x12x2

＜0恒成立，即2x1•2x2＜a恒成立．
由于当x₁＜x₂≤2时(2x1•2x2)max＜16，
∴a≥16

点评：本题考查函数的奇偶性和单调性，涉及分类讨论的思想，属中档题．