Question

如图，四边形ABCD是梯形，四边形CDEF是矩形，且平面ABCD⊥平面CDEF，∠BAD=∠CDA=90°，AB=AD=DE=

1

2

CD=2，M是线段AE上的动点．
（Ⅰ）试确定点M的位置，使AC∥平面MDF，并说明理由；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求平面MDF将几何体ADE-BCF分成的两部分的体积之比．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）首先，根据所给图形，得到当M是线段AE的中点时，AC∥平面MDF．然后，根据线面平行的判定定理进行证明即可；
（Ⅱ）利用补图法，将几何体ADE-BCF补成三棱柱ADE-B′CF，然后，借助于柱体和椎体的体积公式进行求解即可．

解答： 解析：（Ⅰ）当M是线段AE的中点时，AC∥平面MDF．证明如下：
连结CE，交DF于N，连结MN，
由于M、N分别是AE、CE的中点，所以MN∥AC，
由于MN?平面MDF，又AC?平面MDF，
所以AC∥平面MDF．
（Ⅱ）如图，将几何体ADE-BCF补成三棱柱ADE-B′CF，
三棱柱ADE-B′CF的体积为V=S△ADE•CD=

1

2

×2×2×4=8，
则几何体ADE-BCF的体积V_ADE-BCF=V_{三棱柱ADE-BCF}-V_F-BB'C=8-

1

3

×(

1

2

×2×2)×2=

20

3

．
三棱锥F-DEM的体积V_{三棱锥M-DEF}=

1

3

×(

1

2

×2×4)×1=

4

3

，
故两部分的体积之比为

4

3

：(

20

3

-

4

3

)=

1

4

（答1：4，4，4：1均可）．

点评：本题综合考查了线面平行的判定定理、柱体和椎体的体积公式等知识，属于中档题，在解题中，如果求解不规则几何体的体积时，一般用割补法进行运算和求解，这就是转化思想在解题中的应用．