Question

10．某奖励基金发放方式为：每年一次，把奖金总额平均分成6份，奖励在某6个方面为人类作出最有益贡献的人，每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利息的一半，另一半利息存入基金总额，以便保证奖金数逐年增加．假设基金平均年利率为r=6.24%，2000年该奖发放后基金总额约为21000万元．用a_n表示为第n（n∈N^*）年该奖发放后的基金总额（2000年为第一年）．
（1）用a₁表示a₂与a₃，并根据所求结果归纳出a_n的表达式；
（2）试根据a_n的表达式判断2011年度该奖各项奖金是否超过150万元？并计算从2001年到2011年该奖金累计发放的总额．
（参考数据：1.0624¹⁰=1.83，1.032⁹=1.32，1.0312¹⁰=1.36，1.032¹¹=1.40）

Answer 1

分析 （1）由题意可得a₂=a₁（1+3.12%），a₃=${a}_{1}（1+3.12%）^{2}$，即可归纳出a_n．
（2）利用（1）的通项公式a_n可得a₁₁，再利用等比数列的求和公式即可得出从2001年到2011年该奖金累计发放的总额．

解答 解：（1）由题意知：${a_2}={a_1}（1+6.24%）-\frac{1}{2}{a_1}•6.24%={a_1}（1+3.12%）$，${a_3}={a_2}（1+6.4%）-\frac{1}{2}{a_2}•6.24%={a_2}（1+3.12%）={a_1}{（1+3.12%）^2}$，
可得：${a_n}=21000{（1+3.12%）^{n-1}}（n∈{N^*}）$．
（2）2010年该奖发放后基金总额为$a_{11}^{\;}=21000{（1+3.12%）^{10}}$，
2011的度该奖各项奖金额为$\frac{1}{6}•\frac{1}{2}•{a_{11}}6.24%≈149$（万元）
由此可知，2011年度该奖各项奖金没有超过150万元．
从2001年到2011年该奖金累计发放的总额为：
${a_1}\frac{6.24%}{2}+{a_2}\frac{6.24%}{2}+…+{a_{10}}\frac{6.24%}{2}=3.12%（{a_1}+{a_2}+…+{a_{10}}）$
=$3.12%\frac{{21000（{{1.0312}^{10}}-1）}}{1.0312-1}=7560$（万元）．

点评 本题考查了等比数列的通项公式与求和公式及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．