Question

18．已知f（x）的定义域是（0，+∞），f'（x）是f（x）的导数，且满足f（x）＞f'（x），则不等式e^x+2•f（x²-x）＞e^x2•f（2）的解集是（-1，0）∪（1，2）．

Answer 1

分析 构造新函数g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，通过求导得到g（x）的单调性，所解的不等式转化为求g（x²-x）＞g（2），结合函数的单调性得到不等式，解出即可．

解答 解：设g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，（x＞0），则g′（x）=$\frac{f′（x）-f（x）}{{e}^{x}}$＜0，
∴g（x）在（0，+∞）单调递减，
由e^x+2•f（x²-x）＞e^x2•f（2）得：e^x•e²•f（x²-x）＞e^x2•f（2），
得：$\frac{f{（x}^{2}-x）}{{e}^{{x}^{2}-x}}$＞$\frac{f（2）}{{e}^{2}}$，
∴g（x²-x）＞g（2），
∴0＜x²-x＜2，解得：-1＜x＜0或1＜x＜2，
故答案为：（-1，0）∪（1，2）．

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，构造新函数g（x）是解题的关键，本题是一道中档题．