Question

在区间[0，π]上随机取一个数x，则事件“2cos

x

2

（sin

x

2

+

3

cos

x

2

）≤

3

+1”发生的概率为

 

．

Answer 1

考点：几何概型,复合三角函数的单调性

专题：概率与统计

分析：利用辅助角公式将条件进行化简，结合几何概型的概率公式即可得到结论．

解答： 解：2cos

x

2

（sin

x

2

+

3

cos

x

2

）=sinx+

3

cosx+

3

=2sin（x+

π

3

）+

3

，
若2cos

x

2

（sin

x

2

+

3

cos

x

2

）≤

3

+1，
则2sin（x+

π

3

）+

3

≤

3

+1，
即2sin（x+

π

3

）≤1，
即sin（x+

π

3

）≤

1

2

，
∵0≤x≤π，
∴

π

3

≤x+

π

3

≤

4π

3

，
则

5π

6

≤x+

π

3

≤

4π

3

，
解得

π

2

≤x≤π，
则事件“2cos

x

2

（sin

x

2

+

3

cos

x

2

）≤

3

+1”发生的概率为

π- π 2

π-0

=

1

2

，
故答案为：

1

2

点评：本题主要考查几何概型的概率公式的应用，利用辅助角公式将不等式进行化简是解决本题的关键．