Question

已知双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1的右焦点为F，P是第一象限内C上的点，Q为双曲线左准线上的点，若OP垂直平分FQ，则双曲线的离心率e的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：OP垂直平分FQ，O到F和Q的距离相等，即c²=

a4

c2

+p²，求出OP所在直线方程，直线必与双曲线相交，且交点的横坐标和纵坐标均大于零，即可得出结论．

解答： 解：右焦点F（c，0），左准线与x轴的交点B，
设P（m，n），m＞0，n＞0，m、n满足

m2

a2

-

n2

b2

=1①
左准线方程x=-

a2

c

，令Q（-

a2

c

，p）
OP垂直平分FQ，O到F和Q的距离相等，即c²=

a4

c2

+p²②
设FQ中点A，则A（

b2

2c

，

p

2

），OP所在直线方程：y=

pc

b2

x
由②得：p=

b c2+a2

c

则有y=

c2+a2

b

x③
该直线必与双曲线相交，且交点的横坐标和纵坐标均大于零
将③代入①式：x²（

1

a2

-

c2+a2

b4

）-1=0，
∴2（

a

b

）⁴+（

a

b

）²-1＞0
∴（

a

b

）²＞

1

2

，
∴e=

c

a

=

1+ b2 a2

＞

3

，
故答案为：e＞

3

．

点评：本题考查双曲线的性质，考查直线与双曲线的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．