Question

已知双曲线过点（3，-2）且与椭圆4x²+9y²=36有相同的焦点．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）若点M在双曲线上，F₁、F₂为左、右焦点，且|MF₁|=2|MF₂|，试求△MF₁F₂的面积．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）设双曲线方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1，由已知得

9 a2 - 4 b2 =1 a2+b2=5

，由此能求出双曲线的标准方程．
（2）由点M在双曲线上，又|MF₁|=2|MF₂|，得|MF₁|-|MF₂|=2

3

，从而|MF₁|=4

3

，|MF₂|=2

3

，又|F₁F₂|=2

5

，由此能求出△MF₁F₂的面积．

解答： 解：（1）椭圆方程可化为

x2

9

+

y2

4

=1，
焦点在x轴上，且c=

9-4

=

5

，…（2分）
故设双曲线方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1，…（3分）
则有

9 a2 - 4 b2 =1 a2+b2=5

，解得a²=3，b²=2，…（5分）
所以双曲线的标准方程为

x2

3

-

y2

2

=1．…（6分）
（2）因为点M在双曲线上，又|MF₁|=2|MF₂|，
所以点M在双曲线的右支上，
则有|MF₁|-|MF₂|=2

3

，…（8分）
故解得|MF₁|=4

3

，|MF₂|=2

3

，又|F₁F₂|=2

5

，…（9分）
因此在△MF₁F₂中，cos∠F1MF2=

|MF1|2+|MF2|2-|F1F2|2

2|MF1|•|MF2|

=

5

6

，…（10分）
所以sin∠MF₂F₁=

11

6

，…（11分）S△F1MF2=

1

2

×|MF1|•|MF2|×sin∠F1MF2=

1

2

×2

3

×4

3

×

11

6

=2

11

．…（12分）

点评：本题考查双曲线方程的求法，考查三角形面积的求法，解题时要认真审题，注意曲线与方程思想的合理运用．