Question

已知函数f（x）=ax²+x+c（其中a，c是实数且为常数）．
（1）若f（x）＞2x的解集为{x|-2＜x＜1}，求a和c的值；
（2）解不等式f（x）＜（3-a）x+2+c．（审题注意：第一问结论不能用于第二问）

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由题意得方程组，解出即可；（2）通过讨论a的范围，确定出不等式的解集．

解答： 解：（1）由f（x）＞2x得ax²-x+c＞0，
根据这个不等式的解集为{x|-2＜x＜1}知：
x₁=-2，x₂=1是方程ax²-x+c=0的两个根且a＜0，
∴

x1+x2= 1 a =-1 x1x2= c a =-2

，解得a=-1，c=2；
（2）不等式f（x）＜（3-a）x+2+c化为：
ax²+（a-2）x-2＜0，
①当a=0时，解得x＞-1，
②当a＞0时不等式化为（ax-2）（x+1）＜0，
(x-

2

a

)(x+1)＜0，解得-1＜x＜

2

a

，
③当a=-2时不等式化为（x+1）²＞0，
∴x∈R且x≠-1，
④当-2＜x＜0时，不等式 （ax-2）（x+1）＜0化为：
(x-

2

a

)(x+1)＞0，由

2

a

＜-1得x＜

2

a

或x＞-1，
⑤当x＜-2时不等式 （ax-2）（x+1）＜0化为：
(x-

2

a

)(x+1)＞0，由

2

a

＞-1得x＜-1或x＞

2

a

，
综上述不等式的解集为：
当x＜-2时{x|x＜-1或x＞

2

a

}
当a=-2时{x|x∈R且x≠-1}
当-2＜x＜0时{x|x＜

2

a

或x＞-1}
当a=0时{x|x＞-1}
当a＞0时{x|-1＜x＜

2

a

}．

点评：本题考查了二次函数的性质，不等式的解法，考查了分类讨论思想，是一道中档题．