题目内容

如图，A，B，C是圆O上三个点，AD是∠BAC的平分线，交圆O于D，过B做直线BE交AD延长线于E，使BD平分∠EBC．
（1）求证：BE是圆O的切线；
（2）若AE=6，AB=4，BD=3，求DE的长．
考点：与圆有关的比例线段
专题：直线与圆,推理和证明
分析：（1）连接BO并延长交圆O于G，连接GC，由已知条件推导出∠GBC+∠EBC=90°，从而得到OB⊥BE．由此能证明BE是圆O的切线．
（2）由（1）知△BDE∽△ABE，从而得到AE•BD=AB•BE，由此利用切割线定理能求出DE．
解答： （1）证明：连接BO并延长交圆O于G，连接GC，
∵∠DBC=∠DAC，又∵AD平分∠BAC，BD平分∠EBC，
∴∠EBC=∠BAC．
又∵∠BGC=∠BAC，∴∠EBC=∠BGC，
∵∠GBC+∠BGC=90°，
∴∠GBC+∠EBC=90°，∴OB⊥BE．
∴BE是圆O的切线．…（5分）
（2）由（1）知△BDE∽△ABE，
BE
AE
=
BD
AB
，
∴AE•BD=AB•BE，AE=6，AB=4，BD=3，
∴BE=
9
2
．…（8分）
由切割线定理得BE2=DE•AE，
∴DE=
27
8
．…（10分）
点评：本题考查圆的切线的证明，考查线段长的求法，是非曲直中档题，解题时要认真审题，注意切割线定理的合理运用．
练习册系列答案
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复数z=m2（
1
m+8
+i）+（6m-16）i-
m+2
m+8
．（i为虚数单位）
（1）若复数z为纯虚数，求实数m的值；
（2）若复数z对应的点在第三象限或第四象限，求实数m的取值范围．
已知椭圆C的方程为
x2
4
+
y2
16
=1．
（Ⅰ）求椭圆C的长轴长及离心率；
（Ⅱ）已知直线l过（1，0），与椭圆C交于A，B两点，M为椭圆C的左顶点．是否存在直线l使得∠AMB=60°？如果有，求出直线l的方程；如果没有，请说明理由．
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦点为F（1，0），离心率e=
2
2
，A，B是椭圆上的两动点，动点P满足
OP
=
OA
+λ
OB
，（其中实数λ为常数）．
（1）求椭圆标准方程；
（2）当λ=1，且直线AB过F点且垂直于x轴时，求过A，B，P三点的外接圆方程；
（3）若直线OA与OB的斜率乘积kOA•kOB=-
1
2
，问是否存在常数λ，使得动点P满足PG+PQ=4，其中G（-
2
，0），Q（
2
，0），若存在求出λ的值，若不存在，请说明理由．
设f（x）=（1+x）n=C
 
0
n
+C
 
1
n
x+C
 
2
n
x2+…+C
 
n-1
n
xn-1+C
 
n
n
xn（n是正整数），利用赋值法解决下列问题：
（1）求S1=C
 
0
n
+C
 
1
n
+C
 
2
n
+…+C
 
n
n
；
（2）n为偶数时，求S2=C
 
1
n
+C
 
3
n
+C
 
5
n
+…+C
 
n-1
n
；
（3）n是3的倍数时，求S3=C
 
2
n
+C
 
5
n
+C
 
8
n
+…+C
 
n-1
n
．
已知函数f(x)=
1
3
ax3-
1
2
(a+1)x2+bx(a，b∈R，a≠1，a＞0)在x=1时取得极值．
（1）求b的值；
（2）求f（x）的单调减区间．
设数列{an}的前n项和为Sn，a1=10，an+1=9Sn+10，设Tn是数列{
3
(lgan)(lgan+1)
}的前n项和，求使Tn＞
1
4
（m2-5m）对所有的n∈N成立的最大正整数m的值集合．
在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且
3
b=2csinB．
（1）求角C的大小．
（2）若c=4，且△ABC的面积为4
3
，求△ABC的周长．
如图，△ABC中，O为外心，三条高AD、BE、CF交于点H，直线ED和AB交于点M，FD和AC交于点N．求证：OB⊥DF．

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