Question

已知函数f(x)=

1

3

ax3-

1

2

(a+1)x2+bx(a，b∈R，a≠1，a＞0)在x=1时取得极值．
（1）求b的值；
（2）求f（x）的单调减区间．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的概念及应用

分析：（1）依题意，得f′（x）=ax²-（a+1）x+b由于x=1为函数的一个极值点，则f′（1）=0，得b=1．
（2）由（1）得；f′（x）=ax²-（a+1）x+1，①当0＜a＜1时，1＜

1

a

，②当a＞1时，

1

a

＜1，令f′（x）＜0，解不等式求出即可．

解答： 解：（1）依题意，得f′（x）=ax²-（a+1）x+b
由于x=1为函数的一个极值点，
则f′（1）=0，
解得b=1．
（2）由（1）得；f′（x）=ax²-（a+1）x+1，
①当0＜a＜1时，1＜

1

a

，
令f′（x）＜0，
∴不等式的解集为1＜x＜

1

a

；  
②当a＞1时，

1

a

＜1，
令f′（x）＜0，
∴不等式的解集为

1

a

＜x＜1；      
综上，当0＜a＜1时，f（x）的单调减区间为（1，

1

a

）；
当a＞1时，f（x）的单调减区间为（

1

a

，1）．

点评：本题考察了函数的单调性，导数的应用，是一道基础题．