Question

已知椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

16

=1．
（Ⅰ）求椭圆C的长轴长及离心率；
（Ⅱ）已知直线l过（1，0），与椭圆C交于A，B两点，M为椭圆C的左顶点．是否存在直线l使得∠AMB=60°？如果有，求出直线l的方程；如果没有，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的简单性质

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）由椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

16

=1，确定椭圆的几何量，即可求椭圆C的长轴长及离心率；
（Ⅱ）分类讨论，设直线l的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理及向量的数量积，可得

MA

•

MB

＜0恒成立，∠AMB为钝角，即可得到结论．

解答： 解：（Ⅰ）由方程

x

4

2+

y2

16

=1可知a=4，b=2
所以长轴长为8，且c²=a²-b²=12
所以离心率

3

2

．
（Ⅱ）（1）当直线l的斜率不存在时，A(1，2

3

)，B(1，-2

3

)

MA

•

MB

=-3
（2）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x-1），
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

y=k(x-1) x2 4 + y2 16 =1

消去y得：（4+k²）x²-2k²x+k²-16=0．
则

x1+x2= 2k2 4+k2 x1x2= k2-16 4+k2

，

MA

•

MB

=(x1+2)(x2+2)+y1y2=（x₁+2）（x₂+2）+k（x₁-1）k（x₂-1）
=(k2+1)x1x2+(2-k2)(x1+x2)+4+k2=

-3k2

4+k2

＜0
综上，

MA

•

MB

＜0恒成立，∠AMB为钝角
所以，不存在直线l使得∠AMB=60°

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识，解题的关键是直线与椭圆联立，利用韦达定理进行求解．