Question

1．（1）已知a＞0，b＞0，$\frac{1}{b}$-$\frac{1}{a}$＞1．求证：$\sqrt{1+a}$＞$\frac{1}{\sqrt{1-b}}$．
（2）已知a，b，c，d∈R，且a+b=c+d=1，ac+bd＞1．求证：a，b，c，d中至少有一个是负数．

Answer 1

分析 （1）利用分析法即可证明，
（2）利用反证法即可证明

解答 证明：（1）要证$\sqrt{1+a}$＞$\frac{1}{\sqrt{1-b}}$成立，
只需证1+a＞$\frac{1}{1-b}$，
只需证（1+a）（1-b）＞1（1-b＞0），即1-b+a-ab＞1，
∴a-b＞ab，只需证：$\frac{a-b}{ab}$＞1，即$\frac{1}{b}$-$\frac{1}{a}$＞1．
由已知a＞0，$\frac{1}{b}$-$\frac{1}{a}$＞1成立，∴$\sqrt{1+a}$＞$\frac{1}{\sqrt{1-b}}$成立．
（2）假设a，b，c，d都是非负数，
∵a+b=c+d=1，∴（a+b）（c+d）=1．
又∵（a+b）（c+d）=ac+bd+ad+bc≥ac+bd，
∴ac+bd≤1．这与已知ac+bd＞1矛盾，
∴a，b，c，d中至少有一个是负数．

点评 本题考查不等式的证明，考查分析法、反证法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．