Question

13．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的焦点为F₁，F₂，若点P在椭圆上，且满足|PO|²=|PF₁|•|PF₂|（其中O为坐标原点），则称点P为“*”点，则椭圆上的“*”点有4个．

Answer 1

分析 设出椭圆上的点P（x₀，y₀），利用焦半径公式，表示出|PO|²=|PF₁|•|PF₂|，求出点的坐标，得出结论．

解答 解：设椭圆上的点P（x₀，y₀），则$\frac{{x}_{0}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}_{0}^{2}}{{b}^{2}}=1$，y₀²=b²（1-$\frac{{x}_{0}^{2}}{{a}^{2}}$），
椭圆的第二定义可知：|PF₁|=a-ex₀，|PF₂|=a+ex₀，
因为|PO|²=|PF₁|•|PF₂|，则x₀²+y₀²=a²-e²x₀²，
则有x₀²+b²（1-$\frac{{x}_{0}^{2}}{{a}^{2}}$）=x₀²+y₀²，解得x₀=±$\frac{\sqrt{2}a}{2}$，
因此满足条件的有四个点，
故答案为：4．

点评 本题考查了椭圆的新定义问题，解题时应利用焦半径列出方程，求出点的坐标，是基础题．