Question

12．如图所示，在多面体ABCDE中，△BCD是边长为2的正三角形，AE∥DB，AE⊥DE，2AE=BD，DE=1，面ABDE⊥面BCD，F是CE的中点．
（Ⅰ）求证：BF⊥CD；
（Ⅱ）求二面角C-BF-D的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取BD中点O，连接OC，OA，由题意可证OC、OD、OA两两互相垂直．以O为坐标原点，分别以OC、OD、OA所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，求出B，C，D，E，F的坐标，得到$\overrightarrow{BF}、\overrightarrow{CD}$的坐标，由$\overrightarrow{BF}•\overrightarrow{CD}=0$，可得$\overrightarrow{BF}⊥\overrightarrow{CD}$，即BF⊥CD；
（Ⅱ）分别求出平面BCF与平面BFD的一个法向量，利用两法向量所成角的余弦值可得二面角C-BF-D的余弦值．

解答 （Ⅰ）证明：如图，取BD中点O，连接OC，OA，

∵△BCD为正三角形，∴OC⊥BD，
∵面ABDE⊥面BCD，且面ABDE∩面BCD=BD，
∴OC⊥面ABDE，则OC⊥OA，
又AE∥DB，AE⊥DE，AE=$\frac{1}{2}DB$，
∴OA⊥OD．
以O为坐标原点，分别以OC、OD、OA所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，
则B（0，-1，0），C（$\sqrt{3}$，0，0），D（0，1，0），E（0，1，1），F（$\frac{\sqrt{3}}{2}，\frac{1}{2}，\frac{1}{2}$）．
$\overrightarrow{BF}=（\frac{\sqrt{3}}{2}，\frac{3}{2}，\frac{1}{2}）$，$\overrightarrow{CD}=（-\sqrt{3}，1，0）$，
∵$\overrightarrow{BF}•\overrightarrow{CD}=-\frac{3}{2}+\frac{3}{2}=0$，∴$\overrightarrow{BF}⊥\overrightarrow{CD}$，即BF⊥CD；
（Ⅱ）解：$\overrightarrow{BF}=（\frac{\sqrt{3}}{2}，\frac{3}{2}，\frac{1}{2}）$，$\overrightarrow{BC}=（\sqrt{3}，1，0）$，$\overrightarrow{BD}=（0，2，0）$．
设平面BCF的一个法向量为$\overrightarrow{m}=（{x}_{1}，{y}_{1}，{z}_{1}）$，
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BF}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BC}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{\sqrt{3}}{2}{x}_{1}+\frac{3}{2}{y}_{1}+\frac{1}{2}{z}_{1}=0}\\{\sqrt{3}{x}_{1}+{y}_{1}=0}\end{array}\right.$，取x₁=1，得$\overrightarrow{m}=（1，-\sqrt{3}，2\sqrt{3}）$．
设平面BFD的一个法向量$\overrightarrow{n}=（{x}_{2}，{y}_{2}，{z}_{2}）$，
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BF}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BD}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{\sqrt{3}}{2}{x}_{2}+\frac{3}{2}{y}_{2}+\frac{1}{2}{z}_{2}=0}\\{2{y}_{2}=0}\end{array}\right.$，取x₂=1，得$\overrightarrow{n}=（1，0，-\sqrt{3}）$．
∴cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1-6}{4×2}=-\frac{5}{8}$．
∴二面角C-BF-D的余弦值为$-\frac{5}{8}$．

点评 本题考查直线与平面垂直的判定和性质，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用空间向量求解二面角的平面角，是中档题．