Question

6．已知△ABC的外心为O，|AB|=2，|AC|=4，M是BC中点，则$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AM}$=5．

Answer 1

分析 过点O分别作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，可得E、F分别是AB、AC的中点．根据Rt△AOE中余弦的定义，分别求出$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AO}$=2，$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{AO}$=8，代入计算即可得出．

解答 解：过点O分别作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，则E、F分别是AB、AC的中点
可得Rt△AEO中，cos∠OAE=$\frac{|\overrightarrow{AE|}}{|\overrightarrow{AO}|}$=$\frac{|\overrightarrow{AB}|}{2|\overrightarrow{AO}|}$
∴$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AO}$=|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{AO}$|•=$\frac{|\overrightarrow{AB}|}{2|\overrightarrow{AO}|}$=$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{AB}$|²=2，
同理可得$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{AO}$=$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{AC}$|²=8
∵M是BC边的中点，可得$\overrightarrow{AM}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$），
∴$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AM}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）•$\overrightarrow{AO}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AO}$+$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{AO}$）=$\frac{1}{2}$×10=5，
故答案为：5

点评 本题为向量数量积的运算，数形结合并熟练应用数量积的定义是解决问题的关键，属中档题．