Question

设函数f（x）=alnx-bx²，a，b∈R（1）若函数f（x）在x=1处与直线y=-

1

2

相切； 
①求实数a，b的值；      
②求函数f（x）在[

1

e

，e]上的最大值；
③当b=0时，若不等式f（x）≥m+x对所有的a∈[0，

3

2

]，x∈（1，e²]都成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值

专题：计算题,导数的概念及应用,导数的综合应用

分析：①求出函数的导数，根据切线方程，得到切线的斜率和切点，进而得到a，b；
②求出导数，求出极值和端点的函数值，比较即可得到最大值；
③当b=0时，即有alnx≥m+x对所有的a∈[0，

3

2

]，x∈（1，e²]都成立，即m≤alnx-x对所有的a∈[0，

3

2

]，x∈（1，e²]都成立，令h（a）=alnx-x，求出最小值，再求-x的最小值即可．

解答： 解：①函数f（x）=alnx-bx²，的导数f′（x）=

a

x

-2bx，
由于函数f（x）在x=1处与直线y=-

1

2

相切，则a-2b=0，-b=-

1

2

，
解得a=1，b=

1

2

；
②f（x）=lnx-

1

2

x²，f′（x）=

1

x

-x，f′（x）=0，解得x=1，1∈[

1

e

，e]，
且f（1）=-

1

2

，f（

1

e

）=-1-

1

2e2

，f（e）=1-

1

2

e²，
则函数f（x）在[

1

e

，e]上的最大值为：f（1）=-

1

2

；
③当b=0时，不等式f（x）≥m+x对所有的a∈[0，

3

2

]，x∈（1，e²]都成立，
则alnx≥m+x对所有的a∈[0，

3

2

]，x∈（1，e²]都成立，
即m≤alnx-x对所有的a∈[0，

3

2

]，x∈（1，e²]都成立，
令h（a）=alnx-x，则h（a）为一次函数，
由于x∈（1，e²]，则lnx＞0，在a∈[0，

3

2

]上单调递增，
则h（a）_min=h（0）=-x，即有m≤-x对所有的x∈（1，e²]都成立．
则m≤（-x）_min=-e²．
即有实数m的取值范围是（-∞，-e²]．

点评：本题考查导数的运用：求切线方程、求极值和最值，考查不等式恒成立问题转化为求函数最值问题，考查运算能力，属于中档题．