Question

已知f（x）=-x+log₂

1-x

1+x

．
（1）求f（

1

2014

）+f（-

1

2014

）的值；
（2）当x∈（-a，a]（其中a∈（-1，1）且a为常数）时，f（x）是否存在最小值？如果存在，求函数最小值；若果不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：函数最值的应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）利用函数的解析式代入数值求解即可．
（2）设-1＜x₁＜x₂＜1，利用作差、因式分解、判断符号的方法，证出f（x）为（-1，1）上的减函数．因此，当a∈（0，1），且a为常数时，f（x）在区间（-a，a]的最小值为f（a）=-a+log₂ 

1-a

1+a

．

解答： 解：（1）f（x）=-x+log₂

1-x

1+x

．
f（

1

2014

）+f（-

1

2014

）=-

1

2014

+log₂

1- 1 2014

1+ 1 2014

+

1

2014

+log₂

1+ 1 2014

1- 1 2014

=log₂1=0．
（2）设-1＜x₁＜x₂＜1，
∵f（x₁）-f（x₂）
=-x₁+log₂

1-x1

1+x1

-（-x₂+log₂

1-x2

1+x2

）
=（x₂-x₁）+log₂

(1-x1)(1+x2)

(1+x1)(1-x2)

，
且x₂-x₁＞0，

(1-x1)(1+x2)

(1+x1)(1-x2)

＞1
∴log₂

(1-x1)(1+x2)

(1+x1)(1-x2)

＞0，
可得f（x₁）-f（x₂）＞0，得f（x₁）＞f（x₂），
由此可得f（x）为（-1，1）上的减函数，
∴当x∈（-a，a]（其中a∈（0，1），且a为常数）时，
函数有最小值为f（a）=-a+log₂

1-a

1+a

点评：本题给出含有对数符号的基本初等函数，求特殊的函数值并讨论函数在区间（-a，a]上的最小值，着重考查了函数的奇偶性、单调性及其应用的知识点，属于中档题．