Question

已知{a_n}是单调递增的等差数列，首项a₁=3，前n项和为S_n，等比数列{b_n}的首项b₁=1，且a₂b₂=12，S₃+b₂=20．
（1）求{a_n}和{b_n}的通项公式；   
（2）求{a_nb_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：等差数列与等比数列的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）设公差为d，公比为q，则a₂b₂=（3+d）q=12①，S₃+b₂=3a₂+b₂=3（3+d）+q=20②
联立①②结合d＞0可求d，q，利用等差数列，等比数列的通项公式可求a_n，b_n
（2）直接利用（1）的结论对数列{a_n•b_n}用错位相减法求和即可求T_n．

解答： 解：（1）设公差为d，公比为q，
则a₂b₂=（3+d）q=12①
S₃+b₂=3a₂+b₂=3（3+d）+q=20②
联立①②可得，（3d+7）（d-3）=0
∵{a_n}是单调递增的等差数列，d＞0．
则d=3，q=2，
∴a_n=3+（n-1）×3=3n，b_n=2^n-1…（6分）
（2）T_n=3•1+6•2+9•4+…+3n•2^n-1，①
2T_n=3•2+6•4+9•8+…+3n•2ⁿ，②②-①得：T_n=-3（1+2+4+…+2^n-1）+3n•2^n-1
=-3（1+

1-2n-1

1-2

）+3n•2^n-1
=3（n-1）•2^n-1
∴T_n=3（n-1）•2^n-1．

点评：本题主要考查了利用基本量表示的等差数列、等比数列的通项，求和公式的应用，错位相减求解数列的和，属于数列的知识的综合应用，属于中档题．