Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π，在同一周期内，当x=

π

6

时，f（x）取得最大值2；当x=

2π

3

时，f（x）取得最小值-2．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若x∈[0，

π

2

]时，求函数f（x）的单调增区间和最值．

Answer 1

考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式,正弦函数的图象

专题：三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）由题意可求得A的值，

1

2

T=

2π

3

-

π

6

，可得T的值，ω的值，又由题意2sin（2×

π

6

+φ）=2，可解得φ的值，即可求得解析式．
（Ⅱ）由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

可解得f（x）的单调增区间，若x∈[0，

π

2

]时，则可得函数f（x）的单调增区间，根据正弦函数的性质即可求得最值．

解答： 解：（Ⅰ）∵由题意可得：A=2，

1

2

T=

2π

3

-

π

6

，可得T=π，ω=

2π

T

=

2π

π

=2，
∵由题意可得：2sin（2×

π

6

+φ）=2
∴由五点作图法可得：φ=

π

6

∴f（x）=2sin（2x+

π

6

）
（Ⅱ）∵2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

可解得f（x）的单调增区间是[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]k∈Z，
∵若x∈[0，

π

2

]时，函数f（x）的单调增区间是[0，

π

6

]．
∵x∈[0，

π

2

]
∴2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]
∴当x=

π

6

时，f（x）_max=2，当x=

π

2

时，f（x）_min=-1．

点评：本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，正弦函数的图象和性质，属于基础题．