Question

19．当a＞0，a≠1时，函数f（x）=log_a（x-1）+1的图象恒过定点A，若点A在直线mx-y+n=0上，则4^m+2ⁿ的最小值是（　　）

• A． 4
• B． $2\sqrt{2}$
• C． $\sqrt{2}$
• D． 2

Answer 1

分析 函数f（x）=log_a（x-1）+1的图象恒过定点A（2，1），进而可得2m+n=1，结合基本不等式和指数的运算性质，可得4^m+2ⁿ≥2$\sqrt{2}$，进而得到答案．

解答 解：当x=2时，log_a（x-1）+1=1在a＞0，a≠1时恒成立，
故函数f（x）=log_a（x-1）+1的图象恒过定点A（2，1），
由点A在直线mx-y+n=0上，则2m-1+n=0，即2m+n=1，
∴4^m+2ⁿ=2^2m+2ⁿ≥2$\sqrt{{2}^{2m}•{2}^{n}}$=2$\sqrt{{2}^{2m+n}}$=2$\sqrt{2}$，
即4^m+2ⁿ的最小值是2$\sqrt{2}$，
故选：B

点评 本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，基本不等式在最值问题中的应用，直线上的点与直线方程，难度中档．