Question

14．已知正项数列{a_n}的前n项和为S_n，当n≥2时，（a_n-S_n-1）²=S_nS_n-1，且a₁=1，设b_n=log₂$\frac{{a}_{n+1}}{6}$，则b_n等于（　　）

• A． 2n-3
• B． 2n-4
• C． n-3
• D． n-4

Answer 1

分析 先根据数列的递推公式得到（S_n-2S_n-1）²=S_nS_n-1，即可得到$\frac{{S}_{n}}{{S}_{n-1}}$+$\frac{4{S}_{n-1}}{{S}_{n}}$=5，解得S_n=4S_n-1，即可求出数列a_n的通项公式，再根据对数的运算性质即可求出答案．

解答 解：∵a_n=S_n-S_n-1，$（{a}_{n}-{S}_{n-1}）^{2}={S}_{n}{S}_{n-1}$，
∴（S_n-2S_n-1）²=S_nS_n-1，
∴S_n²+4S_n-1²=5S_nS_n-1，
∴$\frac{{S}_{n}}{{S}_{n-1}}$+$\frac{4{S}_{n-1}}{{S}_{n}}$=5，
令$\frac{{S}_{n}}{{S}_{n-1}}$=t，
∴t+$\frac{4}{t}$=5，
解得t=1或t=4，
∴S_n=S_n-1，或S_n=4S_n-1，
∵正项数列{a_n}的前n项和为S_n，
∴S_n≠S_n-1，
∴S_n=4S_n-1，
∵S₁=a₁=1，
∴{S_n}是以1为首项，以4为公比的等比数列，
∴S_n=4^n-1，
当n=1时，S₁=a₁=1，
当n≥2时，a_n+1=S_n+1-S_n=4ⁿ-4^n-1=3×4^n-1，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{6}$=$\frac{3×{4}^{n-1}}{6}$=2^2n-3，
∴b_n=log₂$\frac{{a}_{n+1}}{6}$=2n-3，
故选：A．

点评 本题考查了数列的递推公式求出数列的通项公式以及等比数列的性质，考查了学生的运算能力，转化能力，属于中档题．