Question

9．已知f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+a+1（其中a为常数）
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，f（x）的最大值为4，求a的值．
（3）求出使f（x）取得最大值时x的集合．

Answer 1

分析 （1）利用正弦函数的单调性，求得f（x）的增区间和减区间．
（2）根据x的范围以及正弦函数的最值，求得当f（x）的最大值为4时，a的值．
（3）利用正弦函数的最大值求得出使f（x）取得最大值时x的集合．

解答 解：（1）对于f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+a+1，令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，
求得kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$，可得函数的增区间为[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]，k∈Z．
同理，令2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，
求得kπ+$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{2π}{3}$，可得函数的减区间为[kπ+$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{2π}{3}$]，k∈Z．
（2）若x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，f（x）的最大值为2+a+1=4，求得a=1．
（3）要使使f（x）取得最大值，只需2x+$\frac{π}{6}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，求得x=kπ+$\frac{π}{6}$，
故使f（x）取得最大值x的集合为{x|x=kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z}．

点评 本题主要考查正弦函数的单调性和最值，属于基础题．