Question

9．以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，圆C₁的极坐标方程是ρ²+2ρcosθ=0，圆C₂的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=cosα}\\{y=-1+sinα}\end{array}\right.$（α是参数）．
（Ⅰ）求C₁和C₂的交点的极坐标；
（Ⅱ）直线l经过C₁和C₂的交点，且垂直于公共弦，求直线l的极坐标方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）把参数方程、极坐标方程分别化为直角坐标方程，联立解出交点坐标，再化为极坐标即可得出．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得公共弦所在的直线方程为：y=x．可得直线l的斜率为-1．利用点斜式可得直角坐标方程，再化为极坐标方程．

解答 解：（Ⅰ）圆C₁的极坐标方程是ρ²+2ρcosθ=0，直角坐标方程为x²+y²+2x=0，
圆C₂的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=cosα}\\{y=-1+sinα}\end{array}\right.$（α是参数），普通方程为x²+（y+1）²=1．
C₁和C₂的交点的坐标为（0，0），（-1，-1），极坐标（0，0），（$\sqrt{2}$，$\frac{5π}{4}$）；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得公共弦所在的直线方程为：y=x．
∴直线l的斜率为-1．
直线l经过交点（0，0）时，直线l的方程为：y=-x，可得极坐标：θ=$\frac{3π}{4}$（ρ∈R）．
直线l经过交点（-1，-1）时，直线l的方程为：y+1=-（x+1），
即x+y+2=0，可得极坐标：ρcosθ+ρsinθ+2=0．

点评 本题考查了极坐标化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、点斜式、相互垂直的直线斜率之间的关系、曲线的交点，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．