Question

已知偶函数f（x）的定义域为R，对任意x∈R，有f（x+2）=f（x），当x∈[0，1]时，f（x）=-x+1．则函数g（x）=log₆|x|-f（x）的零点的个数是（　　）

• A、6个
• B、8个
• C、10个
• D、12个

Answer 1

考点：函数零点的判定定理

专题：函数的性质及应用

分析：根据函数的奇偶性、单调性和周期性画出图象，进而即可得到答案．

解答： 解：①设x∈[-1，0]，则（-x）∈[0，1]，
又∵函数f（x）是偶函数，∴f（x）=f（-x）=x+1．
∵f（x）=f（x+2），∴函数f（x）是周期为2的函数．
因此可以先画出y=f（x）在区间[-1，1]上的图象，
根据周期性即可画出整个定义域内的图象．
②画出y=h（x）=log₆（|x|+1）=log₆（x+1）在[0，+∞）上的图象，
根据其奇偶性即可画出（-∞，0）上的图象．
由图象可以看出：函数f（x）的值域是[0，1]；
当x=±5时，y=1，即x∈[-5，5]时，y∈[0，1]，
当x＞5时，y＞1．
由图象和上面的分析可知：
函数y=f（x） 与y=h（x）在区间（-∞，+∞）上有且仅有10个交点，
则函数g（x）=log₆|x|-f（x）的零点的个数是10．
故选C．

点评：熟练掌握函数的奇偶性、单调性和周期性及画出图象是解题的关键．