Question

抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB=60°，过点AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N．则

|MN|

|AB|

的最大值为

 

．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：先设出|AF|，|BF|分别过A，B，M作准线的垂线，垂足分别是A′，B′，N，进而表示出|MN|，利用余弦定理表示出|AB|利用基本不等式求得其范围，最后求得

|MN|

|AB|

的最大值．

解答： 解：设|AF|=r₁，|BF|=r₂，分别过A，B，M作准线的垂线，垂足分别是A′，B′，N，则|MN|=

r1+r2

2

，
由余弦定理得|AB|²=r

2 1

+r

2 2

-2r₁r₂cos60°=（r₁+r₂）²-3r₁r₂c≥（r₁+r₂）²-3•

(r1+r2)2

4

≥

1

4

（r₁+r₂）²，
∴（

|MN|

|AB|

）²≤

(r1+r2)2 4

(r1+r2)2 4

=1，
∴

|MN|

|AB|

的最大值为1．
故答案为：1

点评：本题主要考查了抛物线的简单性质．注重了学生对基础知识综合运用．