Question

设函数f（x）=2x³-3（a+1）x²+6ax（a∈R）
（1）当a=1时，求证：f（x）为R上的单调递增函数；
（2）当x∈[1，3]时，若f（x）的最小值为4，求实数a的值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：计算题,证明题,函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（1）当a=1时，f（x）=2x³-6x²+6x，求导可得f′（x）=6x²-12x+6=6（x-1）²≥0，从而证明；
（2）求导化简f′（x）=6x²-6（a+1）x+6a=6（x-1）（x-a）；从而讨论导数的正负以确定函数的单调性，从而求最值，以确定a．

解答： 解：（1）证明：当a=1时，f（x）=2x³-6x²+6x，
f′（x）=6x²-12x+6=6（x-1）²≥0，
故f（x）为R上的单调递增函数；
（2）f′（x）=6x²-6（a+1）x+6a
=6（x-1）（x-a）；
当a≤1时，f（x）在[1，3]上是增函数，
故f_min（x）=f（1）=2-3（a+1）+6a=4；
解得，a=

5

3

（舍去）；
当1＜a＜3时，f（x）在[1，3]上先减后增，
故f_min（x）=f（a）=2a³-3（a+1）a²+6a•a=4；
解得，a=2；
当a≥3时，
f（x）在[1，3]上是减函数，
故f_min（x）=f（3）=54-27（a+1）+18a=4；
a=

23

9

（舍去）；
综上所述，a=2．

点评：本题考查了导数的综合应用及函数的最值的求法，属于中档题．