题目内容

椭圆
x2
16
+
y2
8
=1的长轴端点A、B与y轴平行的直线交椭圆于P、Q，PA、QB延长线相交于S，求S轨迹．
考点：圆锥曲线的轨迹问题
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：设S（x，y），P（m，n），Q（m，-n），由kPA=kAS，得
n
m+a
=
y
x+a
，由kBQ=kQS，得
n
a-m
=
y
x-a
．
两式相乘得
n2
a2-m2
=
y2
x2-a2
．再由P，Q两点在椭圆上得到
m2
a2
+
n2
b2
=1，结合
n2
a2-m2
=
y2
x2-a2
可得S的轨迹方程．
解答： 解：设S（x，y），P（m，n），Q（m，-n），
kPA=
n-0
m-(-a)
=
n
m+a
，kAS=
0-y
-a-x
=
y
x+a
，
由kPA=kAS，得
n
m+a
=
y
x+a
  ①．
kBQ=
-n-0
m-a
=
n
a-m
，kQS=
y-0
x-a
=
y
x-a
，
由kBQ=kQS，得
n
a-m
=
y
x-a
  ②．
由①×②得，
n2
a2-m2
=
y2
x2-a2
  ③．
又P，Q两点在椭圆上，满足
m2
a2
+
n2
b2
=1，
即
n2
b2
=1-
m2
a2
=
a2-m2
a2
，则
b2
n2
=
a2
a2-m2
=
a2
n2
•
n2
a2-m2
，
代入③式得：
b2
n2
=
a2
n2
•
y2
x2-a2
．
即
y2
b2
=
x2-a2
a2
=
x2
a2
-1，
故
x2
a2
-
y2
b2
=1．
即
x2
16
-
y2
8
=1．
∴S的轨迹为
x2
16
-
y2
8
=1．
点评：本题考查了轨迹方程的求法，考查了代入法求曲线的方程，体现了整体运算思想方法，是中档题．
练习册系列答案
相关题目
i是虚数单位，满足
z+i
z
=i的复数z=（　　）
A、
1
2
+
1
2
i
B、
1
2
-
1
2
i
C、-
1
2
+
1
2
i
D、-
1
2
-
1
2
i
若命题p：x∈（A∪B），则￢p是
 
．
已知函数f（x）=
a•ex
x
（a∈R，a≠0）．
（1）当a=1时，求曲线f（x）在点（1，f（1））处切线的方程；
（2）求函数f（x）的单调区间．
如图所示的是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，则容器中水面的高度h随时间t变化的图象可能是（　　）
A、
B、
C、
D、
设函数f（x）=2x3-3（a+1）x2+6ax（a∈R）
（1）当a=1时，求证：f（x）为R上的单调递增函数；
（2）当x∈[1，3]时，若f（x）的最小值为4，求实数a的值．
已知双曲线与抛物线y2=8x有公共的焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的标准方程为（　　）
A、x2-
y2
3
=1
B、y2-
x2
3
=1
C、x2-
y2
9
=1
D、y2-
x2
9
=1
已知直线l：y=x+2被圆C：（x-3）2+（y-2）2=r2（r＞0）截得的弦AB的长等于该圆的半径．
（1）求圆C的方程；
（2）已知直线m：y=x+n被圆C：（x-3）2+（y-2）2=r2（r＞0）截得的弦与圆心构成三角形CDE．若△CDE的面积有最大值，求出直线m：y=x+n的方程；若△CDE的面积没有最大值，说明理由．
定义域是R上的函数f（x）满足f（x+2）=2f（x），当x∈（0，2]时，f（x）=
x2-x，x∈(0，1]
-log2x，x∈(1，2]
，若x∈（-4，-2]时，f（x）≤
t
4
-
1
2t
有解，则实数t的取值范围是（　　）
A、[-2，0）∪（0，1）
B、[-2，0）∪[1，+∞）
C、[-2，1]
D、（-∞，-2]∪（0，1]

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