Question

如图，某工厂生产的一种无盖纸筒为圆锥形，现一客户订制该圆锥纸筒，并要求该圆锥纸筒的容积为π立方分米．设圆锥纸筒底面半径为r分米，高为h分米．
（1）求出r与h满足的关系式；
（2）工厂要求制作该纸筒的材料最省，求最省时

h

r

的值．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,函数解析式的求解及常用方法

专题：导数的综合应用

分析：（1）设圆锥纸筒的容积为V，则V=

1

3

πr2h，由该圆锥纸筒的容积为π，利用π=

1

3

πr2h，即可得出；
（2）工厂要求制作该纸筒的材料最省，即所用材料的面积最小，即要该圆锥的侧面积最小，设该纸筒的侧面积为S，则S=πrl，其中l为圆锥的母线长，且l=

r2+h2

，S=πr

r2+h2

=π

( 3 h +h2)× 3 h

（h＞0），设f（h）=(

3

h

+h2)×

3

h

=

9

h2

+3h （h＞0 ），利用导数研究其单调性即可得出．

解答： 解：（1）设圆锥纸筒的容积为V，则V=

1

3

πr2h，
由该圆锥纸筒的容积为π，则π=

1

3

πr2h，即r²h=3，
故r与h满足的关系式为r²h=3；
（2）工厂要求制作该纸筒的材料最省，即所用材料的面积最小，即要该圆锥的侧面积最小，
设该纸筒的侧面积为S，则S=πrl，其中l为圆锥的母线长，且l=

r2+h2

，
∴S=πr

r2+h2

=π

( 3 h +h2)× 3 h

（h＞0），
设f（h）=(

3

h

+h2)×

3

h

=

9

h2

+3h （h＞0 ），
由f′(h)=-

18

h3

+3=0，解得h=

3	6

，
当0＜h＜

3	6

时，f′（h）＜0；当h＞

3	6

时，f′（h）＞0；
因此，h=

3	6

时f（h）取得极小值，且是最小值，此时S=π

f(h)

亦最小；
由r²h=3得

h

r

=

h2 r2

=

h3 3

=

2

，
∴最省时

h

r

的值为

2

．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、圆锥的体积与侧面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．