Question

已知定义域为R的函数f（x）=

b-2x

a+2x+1

是奇函数．
（1）求a，b的值；
（2）判断函数f（x）的单调性，并用函数的单调性定义证明；
（3）若对于任意x∈[

1

2

，3]都有f（kx²）+f（2x-1）＞0成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,函数单调性的判断与证明,函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据奇函数的性质得：f（0）=0和f（-1）=-f（1），列出方程组，求出a、b的值；
（2）由（1）求出解析式并化简，判断出函数的单调性，再利用单调性的定义进行证明；
（3）利用奇函数的性质将不等式进行转化，再由单调性列出关于x的不等式，由x的范围分离出常数k，再构造函数g(x)=

1-2x

x2

，利用换元法、二次函数的性质求出函数的最小值．

解答： 解：（1）因为f（x）在定义域为R上是奇函数，所以f（0）=0，
即

-1+b

2+a

=0，解得b=1，
又由f（-1）=-f（1），即

1- 1 2

a+1

=-

1-2

a+22

，解得a=2…（4分）
（2）由（1）知f（x）=

1-2x

2+2x+1

=-

1

2

+

1

2x+1

，则f（x）在（-∞，+∞）上为减函数，
任取x₁、x₂∈R，设x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=

1

2x1+1

-

1

2x2+1

=

2x2-2x1

(2x1+1)(2x2+1)

因为函数y=2^x在R上是增函数，且x₁＜x₂，则2x2-2x1＞0，
又(2x1+1)(2x2+1)＞0，所以f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在（-∞，+∞）上为减函数…（8分）
（3）因为f（x）是奇函数，所以不等式：f（kx²）+f（2x-1）＞0
等价于f（kx²）＞-f（2x-1）=f（1-2x），…（8分）
因f（x）为减函数，由上式推得：kx²＜1-2x．
即对一切x∈[

1

2

，3]有：k＜

1-2x

x2

恒成立，…（10分）
设g(x)=

1-2x

x2

=

1

x2

-

2

x

，令t=

1

x

，t∈[

1

3

，2]，
则有g（t）=t²-2t，t∈[

1

3

，2]，
所以g（x）_min=g（t）_min=g（1）=1，则k＜-1，
即k的取值范围为（-∞，-1）…（12分）

点评：本题考查函数的奇偶性与单调性的应用，二次函数的性质，以及恒成立问题转化为求函数的最值问题，考出分离常数法、换元法、待定系数法等，综合性较强．