Question

如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，E、F分别为BC和PC的中点．
（1）求证：EF∥平面PBD；
（2）如果AB=PD，求EF与平面ABCD所成角的正切值．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,直线与平面所成的角

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）先证明出EF∥BP，进而根据线面平行的判定定理证明出EF∥平面PBD．
（2）先证明出∠PBD为直线EF与平面ABCD所成的角，进而在Rt△PBD中求得tan∠PBD的值．

解答： （1）证明：在△PBC中，E，F为BC和PC的中点，
∴EF∥BP，
∵EF?平面PBD，PB?平面PBD，
∴EF∥平面PBD．
（2）∵EF∥BP，PD⊥平面ABCD，
∴∠PBD即为直线EF与平面ABCD所成的角，
∵ABCD为正方形，BD=

2

AB，
∴在Rt△PBD中，tan∠PBD=

PD

BD

=

2

2

．
∴EF与平面ABCD所成角的正切值为

2

2

．

点评：本题主要考查了线面平行的判定定理的应用，直线与平面所成的角．考查了学生对立体几何知识的综合运用．