Question

已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面边长和侧棱长均为a，侧面A₁ACC₁⊥底面ABC，A₁B=

6

2

a．
（1）求证：A₁B⊥平面AB₁C：
（2）求直线BC₁与平面ABB₁A₁，所成角的正弦值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,直线与平面垂直的判定

专题：空间角

分析：（1）过点B作OB⊥AC，垂直为点O，由已知条件推导出A₁O⊥底面ABC．由此能证明A₁B⊥平面AB₁C．
（2）以O为原点，以OB、OC、OA₁分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线BC₁与平面ABB₁A₁，所成角的正弦值．

解答： （1）证明：过点B作OB⊥AC，垂直为点O，
则BO⊥侧面ACC₁A₁，连结A₁O，在Rt △A1BO中，A1B=

6

2

a，BO=

3

2

a，
∴A1O=

3

2

a，又AA₁=a，AO=

a

2

，
∴A1O2+AO2=AA12，
∴△A₁AO为直角三角形，∴A₁O⊥AC，
∵侧面A₁ACC₁⊥底面ABC，∴A₁O⊥底面ABC．
设A₁B与AB₁相交于D，∵ABB₁A₁为棱形，∴A₁B⊥AB₁，
又∵AC⊥A₁O，AC⊥BO，A₁O∩BO=O，
∴AC⊥平面A₁OB，
∵A₁B?平面A₁OB，∴A₁B⊥AC，
∵A₁B∩AC=A，
∴A₁B⊥平面AB₁C．
（2）如图，以O为原点，以OB、OC、OA₁分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
由题意知B（

3

2

a，0，0），A（0，-

1

2

a，0），A₁（0，0，

3

2

a），C₁（0，a，

3

2

a），
∴

AA1

=(0，

1

2

a，

3

2

a)，

AB

=(

3

2

a，

1

2

a，0)，

BC1

=(-

3

2

a，a，

3

2

a)，
设平面ABB₁A₁的法向量为

n

=(x，y，z)，
则

n

•

AA1

=0，

n

•

AB

=0，
∴

1 2 ay+ 3 2 az=0 3 2 ax+ 1 2 ay=0

，解得

x=z y=- 3 z

，令x=1，得

n

=(1，-

3

，1)，
设BC₁与平面ABB₁A₁所成角为θ，
则sinθ=|cos＜

BC1

，

n

＞|=|

- 3 2 a- 3 a+ 3 2 a

5 2 a• 5

|=

6

5

．
∴直线BC₁与平面ABB₁A₁，所成角的正弦值为

6

5

．

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查直线与平面所成平面角的正弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．