Question

已知函数f（x）=

x2+ax+b

x

（x≠0）是奇函数，且满足f（1）=f（4）
（1）求实数a，b的值；
（2）试指出函数的单调区间（不必证明），并用定义法证明函数f（x）在区间（0，2]的单调性；
（3）是否存在实数k同时满足以下两个条件：
①不等式f（x）+

k

2

＞0对x∈（0，+∞）恒成立；
②方程f（x）=k在x∈[-6，-1]上有解．若存在，试求出实数k的取值范围，若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：函数最值的应用,函数单调性的性质,函数奇偶性的判断

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：（1）利用f（1）=f（4），求出b的值，利用f（x）=

x2+ax+b

x

（x≠0）是奇函数，求出a的值；
（2）根据函数单调性的定义证明即可；
（3）分别求出满足两个条件的实数k的取值范围，即可得出结论．

解答： 解：（1）由f（1）=f（4）得1+a+b=

16+4a+b

4

，解得b=4，（2分）
由f（x）=

x2+ax+b

x

（x≠0）是奇函数，得

x2-ax+b

-x

+

x2+ax+b

x

=0，
∴2a=0，
∴a=0；          （5分）
（2）由（1）知，f（x）=x+

4

x

，任取x₁，x₂∈（0，2]，且x₁＜x₂，
f（x₁）-f（x₂）=（x₁-x₂）•

x1x2-4

x1x2

，
∵x₁，x₂∈（0，2]，且x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0，

x1x2-4

x1x2

＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂），（8分）
∴函数f（x）在区间（0，2]单调递减；                  （9分）
类似地，可证f（x）在区间（2，+∞）单调递增．
（3）对于条件①：
由（2）可知函数f（x）在x∈（0，+∞）上有最小值f（2）=4  （10分）
故若f（x）+

k

2

＞0对x∈（0，+∞）恒成立，
则需4＞-

k

2

，∴k＞-8；                  （11分）
对于条件②：由（2）可知函数f（x）在（-∞，-2）单调递增，
在[-2，0）单调递减，
∴函数f（x）在[-6，-2]单调递增，在[-2，-1]单调递减，（12分）
又f（-6）=-

20

3

，f（-2）=-4，f（-1）=-5，
∴函数f（x）在[-6，-1]上的值域为[-

20

3

，-4]，（13分）
若方程f（x）=k在[-6，-1]有解，则需-

20

3

≤k≤-4，
若同时满足条件①②，则需-

20

3

≤k≤-4．
故当-

20

3

≤k≤-4时，条件①②同时满足．                 （15分）

点评：本题考查函数的性质，考查函数的单调性与值域，考查学生分析解决问题的能力，难度中等．